Identidad e Inversa
1 Funciones y inversas
Imagina la siguiente función:
\[f(x) = x^2\]
- Dominio (¿Qué puede entrar?): Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)). Puedes introducir el \(3\), el \(-5\), el \(0.5\)… todos los valores son válidos.
- Codominio (¿Dónde pueden caer los resultados?): Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)). Es el universo o espacio completo que le asignamos a la función para colocar sus resultados.
Aunque el codominio contiene a todos los números reales (tanto positivos como negativos), si introduces un \(-3\), la función calcula \((-3) \cdot (-3) = \mathbf{9}\). Si introduces un \(3\), el resultado también es \(\mathbf{9}\).Esto significa que, aunque en el Codominio asignado sí existen los números negativos, estos nunca reciben ninguna flecha. Por lo tanto, el conjunto de resultados reales que la máquina escupe—llamado Imagen o Rango—está compuesto únicamente por los números reales positivos y el cero (\([0, +\infty)\)).
\[f(x) = 2x + 3\]
- Dominio: Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).
- Codominio: Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).
Por ejemplo el número 5 se convierte en 13. El 5 es un elemento del Dominio, y al pasar por la función, se transforma en el 13, que es un elemento del Codominio.
\[f(5) = 2(5) + 3 = 10 + 3 = \mathbf{13}\]
La función inversa es la que hace el camino de vuelta. Si le metemos el \(13\), nos tiene que devolver el \(5\) original. \[f^{-1}(x)\] \[f: X \rightarrow Y\] \[f^{-1}: Y \rightarrow X\]
En este caso para encontrar la inversa de la función simplemente despejamos x.
\[f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\]
\[f^{-1}(13) = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = \mathbf{5}\]
2 Función de identidad
Una función de identidad (frecuentemente denotada como \(I\)) es aquella que no altera los elementos sobre los que actúa. En términos simples, funciona como un “espejo”: cualquier valor que entra sale exactamente igual. Para que una función devuelva exactamente lo mismo que recibe, el dominio (el conjunto de salida) y el codominio (el conjunto de llegada) deben ser exactamente el mismo conjunto.
\[f: X \rightarrow X\]
Si introduces un elemento \(x\) perteneciente al conjunto \(X\), la función te devuelve ese mismo \(x\):
\[I(x) = x\]
3 Matriz de identidad
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero (\(0\)), y todos los elementos sobre la diagonal principal son uno (\(1\)).Se le llama matriz identidad porque actúa como el “espejo” o el elemento neutro del álgebra lineal: cualquier vector que se multiplique por ella da como resultado el propio vector original.
\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\]
4 Matriz inversa
La matriz inversa (denotada como \(A^{-1}\)) es aquella que revierte la transformación geométrica causada por la matriz original \(A\).Si una matriz \(A\) toma el espacio, lo gira y lo estira, su matriz inversa \(A^{-1}\) tomará ese espacio distorsionado, lo deshará todo y lo devolverá exactamente a su estado original.
Si multiplicas una matriz por su inversa, ambas transformaciones se cancelan mutuamente, dando como resultado la matriz identidad (\(I\)).
\[A \cdot A^{-1} = I\] \[A^{-1} \cdot A = I\]
Imagina que tenemos la siguiente matriz de transformación \(A\) y un vector de entrada \(\vec{v}\):
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\]
\[\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\]
Para calcular el nuevo vector transformado (\(\vec{w}\)), hacemos la transformación lineal:
\[\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{4} \\ \mathbf{7} \end{bmatrix}\]
Ahora vamos a calcular la matriz inversa
\[A^{-1} \cdot A = I\]\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} 2a + b & a + 3b \\ 2c + d & c + 3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Esto genera dos sistemas de ecuaciones:
Sistema 1 (Para la primera fila de la inversa: \(a\) y \(b\)):
- \(2a + b = 1\)
- \(a + 3b = 0\)
Sistema 2 (Para la segunda fila de la inversa: \(c\) y \(d\)):
- \(2c + d = 0\)
- \(c + 3d = 1\)
Al resolver podemos encontrar cada uno de los parámetros:
\[A^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{0.6} & \mathbf{-0.2} \\ \mathbf{-0.2} & \mathbf{0.4} \end{bmatrix}\]
\[\vec{v}_{\text{recuperado}} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}\]
\[\vec{v}_{\text{recuperado}} = 4 \cdot \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.2 \end{bmatrix} + 7 \cdot \begin{bmatrix} -0.2 \\ 0.4 \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} 4 \cdot 0.6 \\ 4 \cdot (-0.2) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 \cdot (-0.2) \\ 7 \cdot 0.4 \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} 2.4 \\ -0.8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1.4 \\ 2.8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.4 - 1.4 \\ -0.8 + 2.8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{1} \\ \mathbf{2} \end{bmatrix}\]