Descripción de probabilidades y muestras

1 Introducción

En el análisis estadístico interactuan mundos: el teórico y el empírico.

Por un lado, la Distribución de Probabilidad modela el comportamiento ideal de una variable aleatoria a nivel poblacional, asignando un peso teórico a cada resultado posible. Por otro lado, la Distribución de la Muestra describe la variabilidad y las frecuencias absolutas observadas en un experimento finito y real.

Por ejemplo, si lanzas una moneda justa 10 veces, la distribución teórica dicta que esperas obtener 5 veces cara y 5 veces cruz, porque la probabilidad matemática de cada resultado es exactamente la misma (50%).

Sin embargo, al llevar el experimento a la práctica, el azar entra en juego. Puede darse el caso real de que obtengas 7 veces cara y 3 veces cruz. En este escenario, la frecuencia relativa (o probabilidad empírica) basada en tu muestra será del 70% para cara y del 30% para cruz.

Esta discrepancia es completamente normal en muestras pequeñas. No obstante, a medida que se incrementa el número de experimentos (por ejemplo, si lanzamos la moneda 10,000 veces), el efecto del azar se difumina y la distribución empírica tenderá a ser igual o muy similar a la teórica. Este fenómeno fundamental es lo que conocemos en estadística como la Ley de los Grandes Números.

2 Medidas de tendencia central

2.1 Media o valor esperado

2.1.1 Variables discretas

Cuando trabajamos con distribuciones de probabilidad, el promedio teórico de una variable aleatoria se conoce como Valor Esperado o Esperanza Matemática. Este número representa el valor que se espera obtener, en promedio, a largo plazo si el experimento se repitiera una cantidad infinita de veces.

Para entenderlo de forma sencilla, imaginemos que lanzamos tres monedas (donde la probabilidad de cara o cruz es del 50%). Si definimos nuestra variable aleatoria como el número total de caras obtenidas al lanzar las tres monedas, la distribución teórica de probabilidad nos indica:

• 0 caras: \(\frac{1}{8}\) (12.5%)
• 1 cara: \(\frac{3}{8}\) (37.5%)
• 2 caras: \(\frac{3}{8}\) (37.5%)
• 3 caras: \(\frac{1}{8}\) (12.5%)

Aplicando la fórmula del valor esperado, multiplicamos cada resultado posible por su respectiva probabilidad y sumamos los términos:

\[ E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \]

\[ \text{Valor Esperado } (E[X]) = \left(0 \times \frac{1}{8}\right) + \left(1 \times \frac{3}{8}\right) + \left(2 \times \frac{3}{8}\right) + \left(3 \times \frac{1}{8}\right) \]

\[ E[X] = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \mathbf{1.5} \]

Aunque en un único lanzamiento es físicamente imposible obtener “una cara y media”, la teoría nos dice que si realizamos este experimento de tres monedas miles de veces y promediamos todos los resultados reales, el valor final convergerá hacia 1.5 caras.

El concepto de valor esperado sirve entre otras cosas para evaluar la viabilidad económica de un escenario. Imaginemos que nos proponen el siguiente juego basado en el experimento anterior de las tres monedas:

• Si obtienes al menos dos caras (es decir, 2 o 3 caras), ganas 10 dólares (\(+10\)).
• Si no lo logras (es decir, obtienes 0 o 1 cara), pierdes 5 dólares (\(-5\)).

¿Cuánto se espera ganar o perder por cada jugada si participamos muchas veces?

Para resolverlo, primero debemos agrupar las probabilidades teóricas que ya conocemos para definir los dos únicos resultados posibles de nuestra nueva variable aleatoria:

• Probabilidad de Ganar (\(P_{\text{ganar}}\)): Obtener 2 o 3 caras.

\[ P_{\text{ganar}} = P(2) + P(3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = 0.50 \text{ (50%)} \]

• Probabilidad de Perder (\(P_{\text{perder}}\)): Obtener 0 o 1 cara.

\[ P_{\text{perder}} = P(0) + P(1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = 0.50 \text{ (50%)} \]

Ahora, aplicamos nuevamente la fórmula del valor esperado multiplicando cada resultado económico por su probabilidad:

\[ E[\text{Ganancia}] = (\text{Premio} \times P_{\text{ganar}}) + (\text{Castigo} \times P_{\text{perder}}) \]

\[ E[\text{Ganancia}] = (10 \times 0.50) + (-5 \times 0.50) \]

\[ E[\text{Ganancia}] = 5 - 2.5 = \mathbf{2.50} \]

Esto quiere decir que aspiramos a garnar de media 2.50 por jugada.

2.1.2 Variables continuas

Para estas variables, la probabilidad de un punto exacto es cero, por lo que utilizamos una Función de Densidad de Probabilidad \(f(x)\).

Para generalizar el valor esperado a variables continuas, la operación matemática de la sumatoria (\(\sum\)) se transforma en una integral (\(\int\)):

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]

La integral sigue haciendo exactamente lo mismo que con las monedas: multiplicar cada valor posible (\(x\)) por su “peso” o densidad de probabilidad (\(f(x)dx\)) y acumular (sumar) todos los resultados a lo largo de todo el eje numérico.

El tiempo de entrega de un repartido de pizza \(X\) se distribuye de forma Uniforme entre 0 y 30 minutos (\(X \sim U(0, 30)\)).La función de densidad de probabilidad \(f(x)\) para una distribución uniforme es constante y se calcula como \(\frac{1}{b - a}\). En este caso:

\[ f(x) = \frac{1}{30 - 0} = \frac{1}{30} \quad \text{para } 0 \leq x \leq 30 \]

Esto significa que la probabilidad está repartida de manera exactamente igual a lo largo de los 30 minutos.

La penalización o descuento económico depende del tiempo \(X\) y se comporta como una función escalonada \(g(X)\):

\[ g(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 10 \\ 5 & \text{si } 10 \leq x < 20 \\ 10 & \text{si } 20 \leq x \leq 30 \end{cases} \]

Para calcular el valor esperado de esta penalización, utilizamos la generalización continua (el teorema LOTUS). Como nuestra función cambia según el tramo de tiempo, debemos dividir la integral en tres partes, una para cada intervalo:

\[ E[g(X)] = \int_{0}^{30} g(x) \cdot f(x) \, dx \]

\[ E[g(X)] = \int_{0}^{10} (0) \cdot \frac{1}{30} \, dx + \int_{10}^{20} (5) \cdot \frac{1}{30} \, dx + \int_{20}^{30} (10) \cdot \frac{1}{30} \, dx \]

Vamos a resolver cada tramo de forma matemática y muy sencilla:

Primer tramo (0 a 10 min): Como el descuento es cero, la integral es cero.

\[ \int_{0}^{10} 0 \, dx = 0 \]

Segundo tramo (10 a 20 min): Sacamos las constantes \((\frac{5}{30})\) fuera de la integral.

\[ \int_{10}^{20} \frac{5}{30} \, dx = \frac{5}{30} \cdot [x]_{10}^{20} = \frac{5}{30} \cdot (20 - 10) = \frac{5}{30} \cdot 10 = \frac{50}{30} = \frac{5}{30} \cdot 10 = \mathbf{1.667} \]

Tercer tramo (20 a 30 min): Sacamos las constantes \((\frac{10}{30})\) fuera de la integral.

\[ \int_{20}^{30} \frac{10}{30} \, dx = \frac{10}{30} \cdot [x]_{20}^{30} = \frac{10}{30} \cdot (30 - 20) = \frac{10}{30} \cdot 10 = \frac{100}{30} = \mathbf{3.333} \]

Sumamos los resultados de los tres intervalos para obtener la esperanza total:

\[ E[g(X)] = 0 + \frac{50}{30} + \frac{100}{30} = \frac{150}{30} = \mathbf{5} \]

import sympy as sp

# Definimos la variable simbólica
x = sp.Symbol("x")

# Definimos la función de densidad f(x) = 1/30
f_x = sp.Rational(1, 30)

# Definimos la función de penalización por tramos con sp.Piecewise
g_x = sp.Piecewise(
    (0, (x >= 0) & (x < 10)),
    (5, (x >= 10) & (x < 20)),
    (10, (x >= 20) & (x <= 30)),
    (0, True),  # Valor por defecto fuera del rango
)

# El integrando para el Valor Esperado es g(x) * f(x)
integrando = g_x * f_x

# PASO CLAVE: Usamos la función directa sp.integrate()
# Sintaxis: sp.integrate(función, (variable, límite_inferior, límite_superior))
valor_esperado = sp.integrate(integrando, (x, 0, 30))

print("CÁLCULO DIRECTO CON SP.INTEGRATE")
print(f"Operación: ∫ g(x) * f(x) dx desde 0 hasta 30")
print(f"VALOR ESPERADO DE LA PENALIZACIÓN = ${valor_esperado}")

CÁLCULO DIRECTO CON SP.INTEGRATE
Operación: ∫ g(x) * f(x) dx desde 0 hasta 30
VALOR ESPERADO DE LA PENALIZACIÓN = $5

2.1.3 Media empirica

Para comprender la conexión entre el mundo empírico y el teórico, imaginemos un experimento sencillo: lanzamos tres monedas de forma sucesiva y registramos el número total de caras obtenidas. Al realizar este proceso únicamente cuatro veces (\(n = 4\)), generamos el siguiente conjunto de datos reales: [2, 1, 3, 1].

Si deseamos calcular el promedio de caras por lanzamiento a partir de este set de datos, debemos tener clara una distinción conceptual crítica en estadística: a partir de una muestra no se calcula el “valor esperado”, sino la “media muestral” (o empírica). Aunque ambos conceptos representan promedios, operan bajo naturalezas distintas.

La media muestral se basa exclusivamente en los números observados sobre la mesa. Su cálculo tradicional consiste en sumar todos los datos individuales y dividirlos entre el tamaño de la muestra:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 1 + 3 + 1}{4} = \frac{7}{4} = \mathbf{1.75\text{ caras por lanzamiento}} \]

Este resultado es un hecho histórico y local: nos describe con exactitud matemática qué ocurrió en esos cuatro lanzamientos específicos. Si volviéramos a repetir el experimento y lanzáramos las monedas otras cuatro veces, el azar jugaría un papel distinto y este número cambiaría con casi total seguridad (pudiendo resultar en \(1.25\), \(2.00\), etc.).

Por otro lado, el valor esperado representa el promedio teórico a largo plazo; es decir, el “verdadero” número central oculto detrás del experimento si este se repitiera infinitas veces. En situaciones reales, a menudo desconocemos las propiedades físicas de las monedas (no sabemos si están perfectamente equilibradas o trucadas), por lo que nos vemos obligados a utilizar la muestra para intentar “adivinar” o estimar ese valor teórico.Si tuviéramos que apoyarnos únicamente en nuestra pequeña muestra de cuatro lanzamientos para construir una distribución de probabilidad provisional (relativizando las frecuencias observadas), estimaríamos las siguientes probabilidades empíricas:Probabilidad de obtener 3 caras: \(\frac{1}{4}\) (\(25\%\))

• Probabilidad de obtener 2 caras: \(\frac{1}{4}\) (\(25\%\))
• Probabilidad de obtener 1 cara: \(\frac{2}{4}\) (\(50\%\))
• Probabilidad de obtener 0 caras: \(\frac{0}{4}\) (\(0\%\))

Si aplicamos formalmente la ecuación del valor esperado utilizando estas frecuencias relativas como si fuesen nuestras probabilidades de partida, la estructura del cálculo sería la siguiente:

\[ E[X]_{\text{estimado}} = \left(3 \times \frac{1}{4}\right) + \left(2 \times \frac{1}{4}\right) + \left(1 \times \frac{2}{4}\right) + \left(0 \times \frac{0}{4}\right) \]

\[ E[X]_{\text{estimado}} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + 0 = \frac{7}{4} = \mathbf{1.75} \]

2.1.4 Otras medidas de tendencia central sobre muestras

La media o promedio es la métrica más común para medir una tendencia central, pero existen dos más que son muy relevantes también:

• Mediana
• Moda

2.1.4.1 Mediana

La mediana es una medida de posición central que representa el valor ubicado exactamente en el medio de un conjunto de datos ordenados.

Su propiedad fundamental es la simetría posicional: el \(50\%\) de los valores se encuentra por debajo de ella y el otro \(50\%\) se encuentra por encima.Debido a esta característica, a la mediana también se le conoce formalmente como el Percentil 50 (\(P_{50}\)).

Para generalizar este concepto, un percentil es una medida de posición no central que divide a los datos en cien partes iguales. Formalmente, el percentil \(k\) (\(P_k\)) es un valor tal que:El \(k\%\) de los datos ordenados se encuentra por debajo (o es igual) a él.El \((100 - k)\%\) restante de los datos se encuentra por encima.

Los datos siempre deben estar ordenados de menor a mayor.A partir de ahí, el cálculo toma dos caminos dependiendo de si el número total de datos (\(n\)) es impar o par.

Imaginemos las notas de 5 alumnos en un examen: [7, 3, 9, 5, 10]

Ordenamos los datos: [3, 5, 7, 9, 10] (aquí \(n = 5\))

Buscamos la posición central: La fórmula de la posición es \(\frac{n + 1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\).

La mediana en este caso será el valor que está en la posición 3, que es el número 7. El 50% de los datos (2 notas) están por debajo y el otro 50% (2 notas) están por encima.

Cuando tienes un número par de datos, no existe un único término central. En medio de la distribución quedan dos valores atrapados. Para resolver esto, la mediana se calcula como el promedio (la media) de esos dos valores centrales.

Imaginemos que ahora un sexto alumno entrega su examen y el set de datos es: [7, 3, 9, 5, 10, 6]

Ordenamos los datos: [3, 5, 6, 7, 9, 10] (aquí \(n = 6\))

Buscamos las posiciones centrales: Al dividir \(6 / 2 = 3\), sabemos que el centro está compartido por las posiciones 3 y 4.

Los valores en medio son el 6 y el 7. Como la mediana no puede ser dos números a la vez, calculamos su promedio:

\[ \text{Mediana} = \frac{6 + 7}{2} = \frac{13}{2} = \mathbf{6.5} \]

2.1.4.2 Moda

La moda (\(M_o\)) es la medida de tendencia central que define al valor (o categoría) que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos. En términos estadísticos sencillos, es el dato que más se repite. Es la única medida de tendencia central que se puede calcular para variables cualitativas o nominales (por ejemplo, si encuestas a personas sobre su color favorito, el color más votado es la moda).

Ejemplo: [2, 3, 4, 4, 4, 5, 7]. La moda es 4 (se repite 3 veces).

2.1.4.3 Medidas de tendencia central robustas

En el análisis de datos reales, es frecuente encontrarse con datos atípicos (outliers): valores que se encuentran inusualmente alejados del resto de las observaciones del conjunto. Aunque estos datos sean técnicamente correctos, tienen el potencial de distorsionar las medidas de tendencia central, restándoles representatividad.

La sensibilidad ante estos valores extremos varía según la medida que utilicemos:

• La Media (El Promedio): Es una medida altamente sensible. Como su cálculo exige sumar absolutamente todos los valores, un solo dato atípico masivo puede “arrastrar” la media hacia él, especialmente si el set de datos es pequeño y no logra compensar el peso de ese valor extremo.
• La Mediana y la Moda: Son medidas robustas. A la mediana solo le importa el orden posicional de los datos, por lo que el valor del extremo no altera el centro. A la moda solo le importa la repetición, ignorando magnitudes aisladas.

3 Medidas de Dispersión

Mientras que las medidas de tendencia central nos indican dónde se agrupa el grueso de nuestros datos, las medidas de dispersión nos informan sobre su variabilidad. En esencia, nos revelan qué tan estirada o comprimida es la distribución y cómo se esparcen los datos en relación con su media.

Para medir esta fluctuación, contamos con tres herramientas fundamentales que van de menor a mayor nivel de detalle:

3.1 El Rango

Es la medida de dispersión más simple y se calcula como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos:

\[ \text{Rango} = \text{Valor Máximo} - \text{Valor Mínimo} \]

Tal como se observa en su ecuación, el rango aporta muy poca información sobre la estructura interna de la distribución. Al ignorar por completo los datos intermedios y centrarse únicamente en los dos extremos, es una medida altamente sensible a anomalías y poco descriptiva de la verdadera forma de los datos.

3.2 La Varianza (\(\sigma^2\))

A diferencia del rango, la varianza sí analiza cada uno de los datos, midiendo la distancia promedio al cuadrado entre cada valor posible y la media teórica (\(\mu\)).

Volvemos al ejemplo del dado trucado de 4 caras:

• La probabilidad de sacar 1 es de 10%
• La probabilidad de sacar 2 es de 20%
• La probabilidad de sacar 3 es de 30%
• La probabilidad de sacar 4 es de 40%

El valor esperado aquí es de 3.

La varianza se calcula multiplicando la distancia al cuadrado de cada variable respecto a su media por su respectiva probabilidad.

\[ \sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) \]

\[ \sigma^2 = \left[(1 - 3)^2 \cdot \frac{1}{10}\right] + \left[(2 - 3)^2 \cdot \frac{2}{10}\right] + \left[(3 - 3)^2 \cdot \frac{3}{10}\right] + \left[(4 - 3)^2 \cdot \frac{4}{10}\right] \]

\[ \sigma^2 = \left[(-2)^2 \cdot \frac{1}{10}\right] + \left[(-1)^2 \cdot \frac{2}{10}\right] + \left[(0)^2 \cdot \frac{3}{10}\right] + \left[(1)^2 \cdot \frac{4}{10}\right] \]

\[ \sigma^2 = \left[4 \cdot \frac{1}{10}\right] + \left[1 \cdot \frac{2}{10}\right] + \left[0 \cdot \frac{3}{10}\right] + \left[1 \cdot \frac{4}{10}\right] \]

\[ \sigma^2 = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} + 0 + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = \mathbf{1} \]

Elevar las distancias al cuadrado es un requisito matemático indispensable para evitar que las desviaciones negativas y positivas se cancelen entre sí, asegurando que la varianza sea siempre un valor positivo.

Fórmula de Identidad de la Varianza

\[ \operatorname{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

• \(E[(X - \mu)^2]\) es la definición conceptual: el promedio de las distancias al cuadrado respecto a la media (\(\mu = E[X]\)).
• \(E[X^2] - (E[X])^2\) es la fórmula de trabajo: la esperanza del cuadrado de los datos menos el cuadrado de la esperanza.

Recuperemos los datos de tu distribución de probabilidad:

• \(P(X=1) = \frac{1}{10}\)
• \(P(X=2) = \frac{2}{10}\)
• \(P(X=3) = \frac{3}{10}\)
• \(P(X=4) = \frac{4}{10}\)

\[ E[X] = \left(1 \cdot \frac{1}{10}\right) + \left(2 \cdot \frac{2}{10}\right) + \left(3 \cdot \frac{3}{10}\right) + \left(4 \cdot \frac{4}{10}\right) \]

\[ E[X] = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} = \frac{30}{10} = \mathbf{3} \]

Por lo tanto, el término \((E[X])^2\) será \(3^2 = \mathbf{9}\).

En lugar de restar la media, simplemente elevamos cada valor de \(X\) al cuadrado antes de multiplicarlo por su probabilidad:

\[ E[X^2] = \left(1^2 \cdot \frac{1}{10}\right) + \left(2^2 \cdot \frac{2}{10}\right) + \left(3^2 \cdot \frac{3}{10}\right) + \left(4^2 \cdot \frac{4}{10}\right) \]

\[ E[X^2] = \left(1 \cdot \frac{1}{10}\right) + \left(4 \cdot \frac{2}{10}\right) + \left(9 \cdot \frac{3}{10}\right) + \left(16 \cdot \frac{4}{10}\right) \]

\[ E[X^2] = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{100}{10} = \mathbf{10} \]

Ya tenemos nuestra segunda pieza: \(E[X^2] = \mathbf{10}\).

Ahora que tenemos ambas piezas, simplemente las restamos tal y como dicta tu fórmula:

\[ \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \]

\[ \operatorname{Var}(X) = 10 - 9 = \mathbf{1} \]

Un ejemplo con variable continua

\[ f(x) = 2e^{-2x} \quad \text{para } x \geq 0 \]

\[ E[X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot (2e^{-2x}) \, dx \]

\[ E[X] = 0 + \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \mathbf{\frac{1}{2}} = \mathbf{0.5} \]

\[ E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot (2e^{-2x}) \, dx \]

\[ E[X^2] = \mathbf{\frac{1}{2}} = \mathbf{0.5} \]

\[ \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \]

\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}} = \mathbf{0.25} \]

import sympy as sp

# Definimos las variables simbólicas (x debe ser positiva)
x = sp.Symbol("x", positive=True)

# Definimos la función de densidad f(x)
f_x = 2 * sp.exp(-2 * x)

# Calculamos E[X]
E_X = sp.integrate(x * f_x, (x, 0, sp.oo))

# Calculamos E[X^2]
E_X2 = sp.integrate((x**2) * f_x, (x, 0, sp.oo))

# Aplicamos tu fórmula de la Varianza
varianza = E_X2 - (E_X)**2

print(f"E[X]   = {E_X}")
print(f"E[X^2] = {E_X2}")
print(f"Varianza calculada con tu fórmula = {varianza}")

E[X]   = 1/2
E[X^2] = 1/2
Varianza calculada con tu fórmula = 1/4

3.3 Variana de una muestra

Cuando trasladamos el concepto de varianza desde el plano de la probabilidad teórica hacia la estadística descriptiva, pasamos a trabajar con conjuntos de datos reales y existentes.La estadística descriptiva divide el cálculo de la varianza en dos grandes vertientes: la varianza poblacional y la varianza muestral.

Para entender la diferencia práctica y conceptual entre ambas, analicemos el siguiente conjunto de datos compuesto por diez observaciones (\(n = 10\)):[1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4]

Antes de evaluar cualquier tipo de dispersión, es indispensable calcular el centro de gravedad de nuestros datos (la media aritmética). Sumamos todos los valores observados y los dividimos entre el tamaño total del conjunto:

\[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4}{10} = \frac{30}{10} = \mathbf{3} \]

El núcleo de la varianza consiste en determinar cuánto se aleja cada dato individual respecto a la media recién calculada (\(\bar{x} = 3\)) y elevar dicha diferencia al cuadrado. Al agrupar nuestros datos por frecuencias, el desglose resulta en:

• Para el valor 1 (1 aparición): \((1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4 \times 1 = \mathbf{4}\)
• Para el valor 2 (2 apariciones): \((2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 \times 2 = \mathbf{2}\)
• Para el valor 3 (3 apariciones): \((3 - 3)^2 = (0)^2 = 0 \times 3 = \mathbf{0}\)
• Para el valor 4 (4 apariciones): \((4 - 3)^2 = (1)^2 = 1 \times 4 = \mathbf{4}\)

Suma total de las desviaciones cuadráticas: \(4 + 2 + 0 + 4 = \mathbf{10}\)

A partir de este punto, el cálculo matemático se bifurca dependiendo de qué represente matemáticamente nuestro set de datos:

Caso A: Varianza Poblacional (\(\sigma^2\))

Se calcula cuando los 10 datos representan a la totalidad de la población objeto de estudio (por ejemplo, las edades o notas de los únicos 10 integrantes de un departamento cerrado). Al no existir más información fuera de este grupo, dividimos la suma de las desviaciones directamente entre el número total de datos (\(n\)):

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{10}{10} = \mathbf{1} \]

Caso B: Varianza Muestral (\(s^2\)) y la Corrección de Bessel

Se calcula cuando nuestros 10 datos son únicamente una muestra extraída al azar de una población mucho mayor (por ejemplo, 10 ciudadanos encuestados para inferir la variabilidad de todo un país).En este escenario, las muestras pequeñas tienden por naturaleza matemática a subestimar la dispersión real de la población (es decir, es muy probable que los datos de nuestra muestra estén más agrupados entre sí que los datos del universo completo). Para corregir este sesgo e incertidumbre, se aplica la corrección de Bessel, la cual consiste en restarle una unidad al denominador, dividiendo entre \(n - 1\) en lugar de \(n\):

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} = \frac{10}{10 - 1} = \frac{10}{9} = \mathbf{1.111} \]

3.4 La Desviación Estándar (\(\sigma\))

Aunque la varianza es matemáticamente perfecta, arrastra un problema práctico: sus unidades quedan expresadas al cuadrado (por ejemplo, si tus datos eran “dólares”, la varianza te dará en “dólares al cuadrado”, lo cual no tiene sentido físico).

Para devolver la métrica a su escala original, aplicamos la desviación estándar, que es simplemente la raíz cuadrada de la varianza:

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1} = \mathbf{1} \]

4 Percentiles

Un percentil es un valor que indica el porcentaje de observaciones dentro de un conjunto de datos que se encuentra por debajo.

Imaginamos un set de datos con 10 salarios (\(n = 10\)) ordenados [1400, 1700, 1900, 2000, 2100, 2300, 2550, 2600, 2800, 3200].

Para encontrar la posición de cualquier percentil (\(P_k\)) en una lista ordenada, se utiliza la fórmula de la posición:

\[ \text{Posición} = \frac{k \cdot (n + 1)}{100} \]

Si el resultado no es un número entero, se promedian los valores de las posiciones vecinas.

El Percentil 25 (\(P_{25}\) o Primer Cuartil)

Este valor nos indica el corte donde el \(25\%\) de los empleados gana menos que esa cifra y el \(75\%\) restante gana más.

Cálculo de la posición: \(\frac{25 \cdot (10 + 1)}{100} = \frac{275}{100} = \mathbf{2.75}\)

Resultado: Como cayó entre la posición 2 y la 3, tomamos el salario de la posición 2 (\(1700\)) y el de la posición 3 (\(1900\)) y los promediamos según su distancia (el \(75\%\) del camino entre ambos):

\[ P_{25} = 1700 + 0.75 \cdot (1900 - 1700) = \mathbf{1850} \]

El \(25\%\) de los trabajadores de esta muestra tiene un sueldo inferior o igual a \(\$1,850\).

5 Asimetría (Skewness)

La asimetría es una medida de forma que nos indica el grado de distorsión o falta de simetría en una distribución de probabilidad con respecto a su media.

Formalmente, se define como el tercer momento estandarizado de una variable aleatoria \(X\). Su ecuación matemática basada en el valor esperado es:

\[ \text{Skewness} = E\left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^3 \right] \]

Donde \(\mu\) representa la media (valor esperado) y \(\sigma\) la desviación estándar. Elevar las distancias al cubo es el componente clave: al conservar el signo de los desvíos (a diferencia de la varianza que los eleva al cuadrado), nos permite identificar hacia qué lado se inclinan los datos.

El resultado de esta métrica nos revela la anatomía de la distribución mediante tres escenarios:

• Asimetría Positiva (\(> 0\)): La distribución tiene una cola alargada hacia la derecha. Los valores extremadamente grandes son más frecuentes que los extremadamente pequeños.
• Asimetría Negativa (\(< 0\)): La cola de la distribución se extiende hacia la izquierda, indicando una mayor concentración de valores extremos bajos.
• Asimetría Cero (\(= 0\)): La distribución es perfectamente simétrica. Un ejemplo clásico es la Distribución Normal, cuya campana matemática es idéntica en ambas mitades y, por ende, su skewness es cero.

Retomemos el caso del dado trucado de cuatro caras con su distribución de probabilidad asimétrica:

• \(P(X=1) = 0.1\)
• \(P(X=2) = 0.2\)
• \(P(X=3) = 0.3\)
• \(P(X=4) = 0.4\)

Como determinamos previamente, esta variable cuenta con una media \(\mu = 3\), una varianza \(\sigma^2 = 1\) y una desviación estándar \(\sigma = \sqrt{1} = 1\).

Al sustituir estos parámetros en la fórmula del valor esperado de los cubos, obtenemos:

\[ \text{Skewness} = \sum \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^3 \cdot P(X = x_i) \]

Dado que la desviación estándar es \(\sigma = 1\), el denominador no altera los valores. Desarrollamos la sumatoria:

\[ \text{Skewness} = (1 - 3)^3 \cdot 0.1 + (2 - 3)^3 \cdot 0.2 + (3 - 3)^3 \cdot 0.3 + (4 - 3)^3 \cdot 0.4 \]

\[ \text{Skewness} = (-2)^3 \cdot 0.1 + (-1)^3 \cdot 0.2 + (0)^3 \cdot 0.3 + (1)^3 \cdot 0.4 \]

\[ \text{Skewness} = (-8 \cdot 0.1) + (-1 \cdot 0.2) + (0 \cdot 0.3) + (1 \cdot 0.4) \]

\[ \text{Skewness} = -0.8 - 0.2 + 0 + 0.4 = \mathbf{-0.6} \]

El resultado de \(-0.6\) confirma que el dado trucado presenta una asimetría negativa. Esto es visualmente lógico, ya que la probabilidad va aumentando hacia los números mayores (3 y 4), provocando que la masa de la distribución se acumule a la derecha y deje una “cola” inclinada hacia los valores más bajos de la izquierda.

En el mundo real, cuando no conocemos las probabilidades teóricas y trabajamos con un set de datos empíricos como el tuyo: [1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4], aplicamos la fórmula de la asimetría muestral

\[ \text{Skewness} = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^3}{s^3} \]

\[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4}{9} = \frac{27}{9} = \mathbf{3} \]

• Para el 1: \((1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4 \times 1 = 4\)
• Para los 2: \((2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 \times 2 = 2\)
• Para los 3: \((3 - 3)^2 = (0)^2 = 0 \times 2 = 0\)
• Para los 4: \((4 - 3)^2 = (1)^2 = 1 \times 4 = 4\)

\[ \text{Suma de cuadrados} = 4 + 2 + 0 + 4 = 10 \]

\[ \text{Varianza }(s^2) = \frac{10}{9 - 1} = \frac{10}{8} = 1.25 \]

\[ \text{Desviación Estándar }(s) = \sqrt{1.25} \approx \mathbf{1.118} \]

Ahora hacemos la misma sumatoria pero elevando al cubo, lo que mantendrá los signos negativos de los valores que están por debajo de la media:

• Para el 1: \((1 - 3)^3 = (-2)^3 = -8 \times 1 = \mathbf{-8}\)
• Para los 2: \((2 - 3)^3 = (-1)^3 = -1 \times 2 = \mathbf{-2}\)
• Para los 3: \((3 - 3)^3 = (0)^3 = 0 \times 2 = \mathbf{0}\)
• Para los 4: \((4 - 3)^3 = (1)^3 = 1 \times 4 = \mathbf{4}\)

\[ \text{Suma de cubos} = -8 + (-2) + 0 + 4 = \mathbf{-6} \]

Ahora promediamos esa suma dividiendo entre \(n = 9\):

\[ \text{Numerador} = \frac{-6}{9} \approx \mathbf{-0.666} \]

Aplicar la fórmula final de la SkewnessDividimos nuestro numerador entre la desviación estándar al cubo (\(s^3\)):

\[ \text{Skewness} = \frac{-0.666}{(1.118)^3} = \frac{-0.666}{1.397} \approx \mathbf{-0.476} \]

6 Curtosis (Kurtosis)

La curtosis es una medida de forma que determina el grado de concentración que presentan los valores de una región central de la distribución. A menudo se describe de manera intuitiva como una métrica que mide el grosor de las colas o el “apuntalamiento” de la curva, revelando la presencia y el peso de los valores atípicos (outliers).

Su ecuación matemática formal (basada en el cuarto momento estandarizado) es:

\[ \text{Curtosis} = E\left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4 \right] \]

Elevar las distancias a la cuarta potencia (\(^4\)) provoca que cualquier desviación grande (un valor extremo) se magnifique enormemente, lo que permite capturar el peso de las colas.En estadística descriptiva y probabilidad, se suele utilizar la Curtosis en Exceso (restando \(3\) al resultado), tomando como referencia la Distribución Normal (cuya curtosis teórica es siempre \(3\)). Esto nos permite clasificar las distribuciones en tres categorías:

• Leptocúrtica (Curtosis en Exceso \(> 0\)): Curva muy apuntada. Las colas son gruesas y pesadas, lo que significa que hay una alta presencia de valores extremos o atípicos.
• Mesocúrtica (Curtosis en Exceso \(= 0\)): Su comportamiento es idéntico al de la Distribución Normal. El grosor de sus colas es el estándar.
• Platicúrtica (Curtosis en Exceso \(< 0\)): Curva achatada o aplanada. Las colas son muy delgadas o ligeras, indicando que hay una baja concentración de valores extremos; los datos se dispersan de forma más uniforme.

Volvamos a utilizar nuestro conocido modelo del dado trucado de cuatro caras para calcular su curtosis teórica:

\(P(X=1) = 0.1 \quad | \quad P(X=2) = 0.2 \quad | \quad P(X=3) = 0.3 \quad | \quad P(X=4) = 0.4\)

Recordemos sus parámetros ya calculados:

• Media \(\mu = 3\)
• Varianza \(\sigma^2 = 1\)
• Desviación Estándar \(\sigma = 1\)

Aplicamos la sumatoria elevando los desvíos a la cuarta potencia:

\[ \text{Curtosis} = \sum \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^4 \cdot P(X = x_i) \]

\[ \text{Curtosis} = (1 - 3)^4 \cdot 0.1 + (2 - 3)^4 \cdot 0.2 + (3 - 3)^4 \cdot 0.3 + (4 - 3)^4 \cdot 0.4 \]

\[ \text{Curtosis} = (-2)^4 \cdot 0.1 + (-1)^4 \cdot 0.2 + (0)^4 \cdot 0.3 + (1)^4 \cdot 0.4 \]

\[ \text{Curtosis} = (16 \cdot 0.1) + (1 \cdot 0.2) + 0 + (1 \cdot 0.4) \]

\[ \text{Curtosis} = 1.6 + 0.2 + 0 + 0.4 = \mathbf{2.2} \]

Curtosis en Exceso: \(\text{Curtosis} - 3 = 2.2 - 3 = \mathbf{-0.8}\)

Al darnos una curtosis en exceso negativa (\(-0.8\)), concluimos que este dado tiene una distribución platicúrtica. Al estar los valores limitados estrictamente entre el 1 y el 4, no existen valores “extremadamente alejados” o colas infinitas, dando como resultado colas muy ligeras.

Imaginemos que tomamos una muestra aleatoria de las calificaciones de 5 alumnos en una prueba de software: [1, 5, 5, 5, 9]. Vamos a calcular su curtosis empírica.1.

Calcular la Media Muestral (\(\bar{x}\))

\[ \bar{x} = \frac{1 + 5 + 5 + 5 + 9}{5} = \frac{25}{5} = \mathbf{5} \]

Calcular la Desviación Estándar Muestral (\(s\))Calculamos los cuadrados de las distancias (usando la corrección de Bessel dividiendo entre \(n-1 = 4\)):

• Para el 1: \((1 - 5)^2 = 16\)
• Para los 5: \((5 - 5)^2 = 0 \times 3 = 0\)
• Para el 9: \((9 - 5)^2 = 16\)

\[ \text{Varianza }(s^2) = \frac{16 + 0 + 16}{4} = \frac{32}{4} = 8 \implies s = \sqrt{8} \approx \mathbf{2.828} \]

Calcular el promedio de las potencias cuartasAhora elevamos esas mismas distancias a la cuarta potencia y las promediamos entre \(n = 5\):

• Para el 1: \((1 - 5)^4 = (-4)^4 = \mathbf{256}\)
• Para los 5: \((5 - 5)^4 = (0)^4 = \mathbf{0}\)
• Para el 9: \((9 - 5)^4 = (4)^4 = \mathbf{256}\)

\[ \text{Promedio de potencias cuartas} = \frac{256 + 0 + 256}{5} = \frac{512}{5} = \mathbf{102.4} \]

Aplicar la fórmula final de Curtosis

Dividimos el promedio obtenido entre la desviación estándar elevada a la cuarta potencia (\(s^4 = 8^2 = 64\)):

\[ \text{Curtosis} = \frac{102.4}{64} = \mathbf{1.6} \]

Curtosis en Exceso: \(1.6 - 3 = \mathbf{-1.4}\)